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题记： 一个拓扑学家分不清面包圈和咖啡杯

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同伦， 顾名思义， 就是一个东西连续的转换为另外一个东西。  就如同上面的杯子变成圈一样。

同伦主要研究与连续映射的连续形变有关的各种课题。由于许多几何问题可以归结为同伦问题，然后谋求代数拓扑的解决办法，所以同伦论广泛地受到注意。  这里， 我做一个比较简单的介绍， 不过肯定不会按照《Anomalies in quantum field theory》 这本书里的讲， 太晦涩难懂了。

同伦： 存在两个拓扑空间 X ,  Y。 考虑两个连续函数 f0  和 f1： X → Y,   如果选定一个连续函数 H： X × [0,1] → Y ，H 映射是从 X 与单位间隔 [0,1] 的乘积空间到 Y 的映射， 并且满足： H(x,0)=f0 (x) ， H(x,1)=f1(x)， 对任意 x 属于 X。 我们用符号表示 f0 和 f1 的同伦为 

                                                f0 ～ f1

这个概念有点抽象， 可以考虑下面的图片：

半球体 K  是一个由半球面 H 和 圆盘 D 组成的。 我们假想 K 是由可伸缩的橡皮泥组成的， 现在让 H 上的点都保持不动， 沿垂直于 D 的方向挤压 K , 最后可以将半球体 K 压缩成 半球面 H。 采用数学语言来说： 过 K 的任意点 x 垂直于圆盘 D 的直线与半球面 H 交于点。对于 0≤　t　≤1 ,令 xt 表示分线段 x 为 t :1－t 之点。不妨认为挤压是从时刻 t=0 开始，到时刻 t=1 时完成，而时刻 t 时点 x 沿着线段 x 到达 xt 的位置。使 x 对应于xt，定义了半球体 K 自身的一个连续映射 ｆt:K→K,  ƒt(x)=xt。于是，ｆ0(x)=x0-x。ｆ0为 K 自身的恒等映射,ｆ1(k)=H，并且ｆt(y)=y。当y∈H，ｆt 就是一个“伦移”,使得K自身的恒等映射同伦于一个将K 映入子集H 的映射。 （参考 http://www.hudong.com/wiki/%E5%90%8C%E4%BC%A6%E8%AE%BA）

传递性： f, g , h 为拓扑空间中的连续函数， 如果

                                f～g, 并且 g ~ h,  则有  f ~ h。

           这就是同伦的传递性。

同伦等价空间： 两拓扑空间 X, Y是同伦等价的， 如果存在连续的映射 f, g,                             f: X→Y,  g: Y→X,

       满足

                                     ～ 1Y            　       即为Y的恒等映射

                                     ～ 1X            　      即为X的恒等映射

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